exams/lecture-09-linear-fractional-functions/第九讲_一次分式函数.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
典例分析 · 一次分式函数/图象平移/对称中心
答案：先关于 x 轴翻折并纵向伸长 3 倍，再左移 1、上移 3；中心 (-1,3)
题目标签：由反比例函数平移得到一次分式函数
先关于 x 轴翻折并纵向伸长 3 倍，再左移 1、上移 3；中心 (-1,3)
一次分式函数的平移信息藏在分子与分母中，先做整式分离，把它写成常数加反比例项，就能直接读出水平、竖直平移和对称中心。
从 y=1/x 出发，乘以 -3 得 y=-3/x；把 x 换成 x+1 表示图象向左平移 1 个单位，再加 3 表示向上平移 3 个单位。
两条渐近线分别是 x=-1 与 y=3，它们的交点就是双曲线的对称中心；代数分离式与原函数通分后完全一致。
典例分析 · 一次分式函数/单调性/区间最值
答案：最大值 -2（x=-3），最小值 -3（x=-2）
题目标签：闭区间上一次分式函数最值
最大值 -2（x=-3），最小值 -3（x=-2）
区间 [-3,-2] 不跨过禁点 -1，可以先整式分离并判断导数或比较反比例项的变化方向，最值只需检查两个端点。
函数在该区间的变化率为 -2/(x+1)^2<0，因此随 x 增大严格递减；把两个端点代入，分别得到 y(-3)=-2、y(-2)=-3。
区间闭且函数连续，所以端点值能够取得；递减方向与从 -2 降到 -3 的数值顺序一致，不存在遗漏的内部极值。
典例分析 · 图象平移/分式不等式
答案：g(x)=1/(x-1)+3；不等式解集 [0,1)
题目标签：反比例函数平移与不等式
g(x)=1/(x-1)+3；不等式解集 [0,1)
右移要把自变量 x 换成 x-1，上移再加 3；解不等式时不能直接乘含未知符号的 x-1，应移到一边后做分式符号表。
由 g(x)≤2 得 1/(x-1)+1≤0，即 x/(x-1)≤0。临界点是零点 0 和禁点 1，符号表显示只有 0≤x<1 满足。
x=0 使原式等号成立，应保留；x=1 使函数无定义，必须排除；其余两个区间各取一点代入，符号均不满足。
典例分析 · 一次分式函数/值域/定义域审查
答案：按原文与自然定义域共同理解：R 去掉 {-1/2,3}；若 x≠0 为排版误注，则自然值域仅去掉 -1/2
题目标签：一次分式函数值域与题源禁点异常
按原文与自然定义域共同理解：R 去掉 {-1/2,3}；若 x≠0 为排版误注，则自然值域仅去掉 -1/2
值域题最稳妥的做法是把方程反解 x，并记录哪些 y 会使反解失效；原文还额外排除了 x=0，因此对应函数值也要从值域删除。
反解要求 2y+1≠0，所以 y=-1/2 永远取不到；对其他 y 都得到唯一的自然定义域自变量。若再执行原文 x≠0，则反解为 0 当且仅当 y=3，也要排除。
原函数在 x=0 时确有 y=3，而 x=-1/2 无定义。故按印刷条件值域去掉两个数；若 x≠0 是把 x≠-1/2 排坏了，则只去掉水平渐近线值。
典例分析 · 分式符号/二次方程/判别式
答案：a=1；m=0 或 m=-3±2√2
题目标签：由负值区间与唯一交点反求参数
a=1；m=0 或 m=-3±2√2
分式符号改变只发生在分子零点和分母禁点，已知负值区间的两个边界即可反推出零点；唯一交点再分 m=0 的退化一次方程与 m≠0 的二次重根。
负值区间为 (-1,1)，故分子零点 -a=-1，得到 a=1。交点方程化为 mx²-(m+1)x-1=0；m=0 时唯一解 x=-1，m≠0 时令判别式 m²+6m+1=0。
二次分支给 m=-3±2√2，均产生合法重根；x=1 代入交叉相乘后的多项式恒为 -2，不会把禁点误收为根。
典例分析 · 反比例函数/均值不等式/坐标面积
答案：a=18；最大正整数 m=17
题目标签：反比例曲线距离与三点面积
a=18；最大正整数 m=17
距离平方 x²+a²/x² 适合用均值不等式；三个横坐标等距时，行列式面积会化成函数值的二阶差分，代入反比例式可大幅约分。
最短距离 6 给 2a=36，故 a=18。面积为 18/t-36/(t+2)+18/(t+4)=144/[t(t+2)(t+4)]，与 m/t 相等后得到 m=144/[(t+2)(t+4)]。
t>0 时 (t+2)(t+4)>8，所以 0<m<18；该表达式连续并从接近 18 下降到 0，每个 0<m<18 都能取到，因此最大正整数是 17。
反馈练习 · 分式不等式/定义域
答案：x<2 或 x≥8
题目标签：反比例函数值域条件反求定义域
x<2 或 x≥8
把值域限制直接代入函数形成分式不等式，移项后以分子零点 8 和分母禁点 2 画符号表。
临界点按顺序是 2、8；在 (-∞,2) 分子正分母负，在 [8,∞) 分子非正分母正，两段满足不大于零。
x=8 使函数值等于 1/3，应保留；x=2 无定义必须排除；中间区间取 x=3 得 y=2，不满足限制。
反馈练习 · 整式分离/渐近线
答案：
题目标签：一次分式函数对称中心
(-3,-2)
对称中心是两条渐近线的交点，先把分式拆成常数与 1/(x+3) 的倍数即可直接读取。
竖直渐近线由分母为零得到 x=-3，水平渐近线由常数项得到 y=-2，因此双曲线围绕交点中心对称。
将 x=-3+h 与 x=-3-h 的函数值相加恰为 -4，验证两点中点纵坐标为 -2。
反馈练习 · 切线/交点/判别式
答案：k=-1 或 k=-1/25
题目标签：过原点直线与分式曲线相切
k=-1 或 k=-1/25
相切意味着联立方程只有一个交点，把分母消去得到关于 x 的二次方程，再令判别式为零。
整理得 kx²+(5k-1)x-9=0，其判别式为 (5k-1)²+36k=25k²+26k+1=(25k+1)(k+1)。
两值分别是 -1 与 -1/25；禁点 x=-5 代入消元后的方程恒不成立，因此两次重合交点都不是增根。
反馈练习 · 绝对值/分段函数/图象
答案：x<0 时 y=(x+1)/(x-1)；x≥0 且 x≠1 时 y=-1
题目标签：含绝对值的一次分式函数图象
x<0 时 y=(x+1)/(x-1)；x≥0 且 x≠1 时 y=-1
绝对值的唯一分界点是 x=0，先按 x 的正负去掉绝对值；每一段再分别化简，并保留原分母禁点 x=1。
x<0 时 y=(1+x)/(x-1)=1+2/(x-1)；x≥0 时 y=(1-x)/(x-1)=-1，但 x=1 仍需挖去。两段在 x=0 都给 -1，图象相接。
左段只取双曲线在 x<0 的部分，右段是射线 y=-1，并在 (1,-1) 留空点；定义域为 R 去掉 1。
反馈练习 · 单调性/参数范围
答案：a>1/2
题目标签：一次分式函数单调性反求参数
a>1/2
整式分离后只有反比例项随 x 变化，或直接计算导数；分母平方恒正，单调方向只由常数 2a-1 决定。
在 (-2,∞) 内分母平方始终为正，要严格递增必须且只需 2a-1>0，解得 a>1/2。
a=1/2 时函数恒为 1/2，不是增函数；a<1/2 时导数处处为负，方向相反，因此端点不能并入。
反馈练习 · 定义域/值域/反函数
答案：两问均为 a=1
题目标签：定义域值域相同与反函数对称
两问均为 a=1
非退化一次分式函数的定义域缺少分母零点 1，值域缺少水平渐近线值 a；关于 y=x 对称则等价于函数与反函数相同。
定义域和值域相同直接给 a=1。交换 x、y 解出反函数 y=(x+1)/(x-a)，令它与 (ax+1)/(x-1) 恒等，比较二次项系数也得 a=1。
a=1 时函数 (x+1)/(x-1) 的反函数仍是自身，且定义域和值域都为 R 去掉 1；不存在常函数退化干扰。