exams/lecture-10-quadratic-equations/第十讲_一元二次方程.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
典例分析 · 韦达定理/判别式/退化审查
答案：(1) 另一根 2-√3，m=-4；(2) -1<a≤5/3
题目标签：已知一根与含参方程实根范围
(1) 另一根 2-√3，m=-4；(2) -1<a≤5/3
首问利用根积为 1 可避免代入根式展开；次问必须先把 a=±1 的一次或常数退化情形单列，再对真正的二次方程使用判别式。
由 (2+√3)(2-√3)=1 得另一根 2-√3，根和为 4=-m，故 m=-4。a≠±1 时 Δ=-3a²+2a+5≥0，给 -1≤a≤5/3；a=1 的一次方程有根，a=-1 化为 1=0 无根。
把二次分支与两个退化点合并：左端 a=-1 必须删除，a=1 已包含且合法，右端判别式为零仍有实重根，所以范围为 (-1,5/3]。
典例分析 · 一元二次方程/倒数换元/韦达定理
答案：
题目标签：互为倒数变换后的韦达消元
-5
把第一个方程除以 s²，会发现 1/s 满足与 t 相同的二次方程；条件 st≠1 正是告诉我们 t 不是 1/s，而是另一个根。
t 与 1/s 是该方程的两个不同根，根积为 19，所以 t/s^{-1}=ts=？更准确地写 t·(1/s)=19，得到 t=19s。原分子 19s²+4s+1=(-99s-1)+4s+1=-95s。
由于方程常数项非零，s、t 均非零，可以安全相除；最终 (-95s)/(19s)=-5，且 st≠1 已用于排除同一根。
典例分析 · 实根判别/二次式/范围证明
答案：0≤z≤2a/3
题目标签：三元和与平方和约束下的单变量范围
0≤z≤2a/3
把 z 固定后，x、y 的和与平方和都确定；实数 x、y 存在等价于以它们为根的二次方程判别式非负。
判别量 (x-y)²=2(x²+y²)-(x+y)²，代入得到 a²-2z²-(a-z)²=2az-3z²=z(2a-3z)≥0。
因 a>0，乘积 z(2a-3z) 非负恰给 0≤z≤2a/3；两个端点分别对应 x=y，均不与原等式冲突。
典例分析 · 值域/判别式/最值
答案：最大值 2/3，最小值 -2
题目标签：分式函数值域转化为二次方程有实根
最大值 2/3，最小值 -2
分母恒正但直接配凑不对称；把 y 当参数移项，要求所得关于 x 的方程有实根，就能一次得到完整值域。
y=0 时 x=0 合法；一般判别式要求 (y-2)²-4y²≥0，即 3y²+4y-4≤0，根为 -2 与 2/3。
端点对应判别式为零，均有实际切点，因此上下界都能取得；分母 x²+x+1=(x+1/2)²+3/4 始终不为零。
典例分析 · 根式方程/换元/根的个数
答案：1/2≤m<1
题目标签：根式方程恰有两个实根
1/2≤m<1
令 t=√(2x+1)≥0，x=(t²-1)/2；原根式方程变成关于非负 t 的二次方程，根的个数和定义域可以同时判断。
两根为 t=1±√(2-2m)。要有两个不同实根需 m<1；较小根非负要求 √(2-2m)≤1，即 m≥1/2。
m=1/2 时两个 t 为 0、2，仍对应两个不同 x，应保留；m=1 时只有重根，应排除，因此范围是 [1/2,1)。
典例分析 · 根的符号/判别式/参数范围
答案：有两个异号实根；3/2<|x₁-x₂|<3
题目标签：系数排序下二次方程根距范围
有两个异号实根；3/2<|x₁-x₂|<3
先由三个系数严格递减且和为零判断 a>0；再把 b/a 设为 r，利用 a+b+c=0 消去 c。这样系数排序直接化成 r 的开区间，根的符号和根距都只含 r。
若 a≤0，则 a>b>c 会使 a,b,c 全为负数，与 a+b+c=0 矛盾，故 a>0。由 b>c=-a-b 得 r>-1/2，由 a>b 得 r<1；于是 c/a=-1-r<0，按韦达定理 x₁x₂=c/a<0，所以方程有两个异号且不相等的实根。又 Δ=b²-4ac=a²(r+2)²，故 d=|x₁-x₂|=√Δ/a=r+2。
由 -1/2<r<1 立即得到 3/2<d<3。反过来，任取该区间内的 d，令 r=d-2、a>0、b=ar、c=-a(1+r)，就满足 a>b>c 与 a+b+c=0，因此区间内每个值都能取得；两个端点因严格不等式不能取得。
反馈练习 · 判别式/完全平方/参数
答案：a=1 且 b=-1/2
题目标签：含两参数二次方程有实根
a=1 且 b=-1/2
计算判别式后不要直接处理椭圆型不等式，把结果配成两个平方和；非负平方和不大于零只能同时为零。
整理 Δ≥0 等价于 2a²+4ab+4b²-2a+1≤0，而左式可配成 (a-1)²+4(b+a/2)²。
两个平方只能都为零，得到 a=1、b=-1/2；代回时判别式等于零，方程确有一个实重根。
反馈练习 · 换元/韦达关系/代数恒等式
答案：
题目标签：两个二次方程根的对应消元
-36
令 s=a²>0，则 s²+3s-1=0；b 的方程与 s 通过 b=1/s 或 b=-s 对应，附加条件用来排除前者。
因 s(s+3)=1，b=s+3=1/s 会使 a²b=1，被排除，所以 b=-s。目标化为 s³-s^{-3}。又 s-1/s=-3，s+1/s=√13。
代入得到 -3(13-1)=-36；整个推导只除以正数 s，不会产生零除问题，且已使用 a²b≠1。
反馈练习 · 三角形/中线/范围
答案：
题目标签：中线与定圆得到边长和范围
10<a<20
MA=5 且 M 是 AB 中点，先得到 AB=10；MC=MA 表明 C 在以 M 为圆心、5 为半径的圆上，AC 是该圆的一条弦。
非退化三角形要求 C 不与 A、B 重合，因此弦长 AC 严格介于 0 与直径 10 之间。于是 a=AB+AC=10+AC。
当 C 沿圆周趋近 A 或 B 时分别逼近两个端点，但端点会使三角形退化，故范围是开区间且中间每个值均可实现。
反馈练习 · 二次型/特征值/最值
答案：[-1,5/3]
题目标签：二次型约束下另一二次型范围
[-1,5/3]
这是两个齐次二次型的比值范围，可设目标值为 λ，寻找 R-λQ 何时能在非零向量上为零；边界由广义判别式为零给出。
矩阵行列式 det([[1-λ,-(1+λ)/2],[-(1+λ)/2,-1-λ]])=0，化为 3λ²-2λ-5=0，得到 λ=-1、5/3。
约束 Q 正定，其单位椭圆紧致，连续函数 R 必能取得两个端点；因此完整值域正是闭区间 [-1,5/3]。
反馈练习 · 值域/二次方程/判别式
答案：最大值 1，最小值 -1/3
题目标签：分式函数判别式求值域
最大值 1，最小值 -1/3
分母配方后恒正，把 y 视为参数并移项成关于 x 的二次方程，存在实数 x 的条件就是判别式非负。
判别式 (y+1)²-4y²=-3y²+2y+1≥0，等价于 (3y+1)(y-1)≤0。
两个端点使判别式为零，分别对应实际切点，且 x²-x+1>0 恒成立，所以最大值 1、最小值 -1/3 均可取得。
反馈练习 · 根式方程/非负根/参数分类
答案：m<1/2 或 m=1
题目标签：根式方程恰有一个实根
m<1/2 或 m=1
仍令 t=√(2x+1)≥0；唯一 x 根等价于二次方程在非负半轴上恰有一个不同的 t 根，要区分重根和一正一负两种来源。
m=1 时判别式为零，只有 t=1。m<1 时两根 1±√(2-2m)；当 m<1/2 时较小根为负、较大根为正，非负域只保留一个。
m=1/2 时根为 0、2，有两个合法根，不能包含；1/2<m<1 也有两个正根，m>1 无根。因此答案为 m<1/2 或 m=1。