exams/lecture-11-quadratic-functions-i/第十一讲_一元二次函数（一）.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
典例分析 · 顶点/零点/二次函数解析式
答案：f(x)=-(5/2)(x-1)(x-5)
题目标签：由最大值和零点距离确定抛物线
f(x)=-(5/2)(x-1)(x-5)
全局最大值在 x=3，说明对称轴是 x=3 且开口向下；两个零点相距 4，因此它们关于 3 对称，只能是 1 和 5。
把顶点横坐标代入，f(3)=A·2·(-2)=-4A=10，得到 A=-5/2。
首项系数为负，确有最大值；零点距离为 4，且 f(3)=10，三个原条件同时满足。
典例分析 · 对称轴/根距/解析式
答案：f(x)=x²/2+2x+1
题目标签：由对称值、定点和根距确定函数
f(x)=x²/2+2x+1
相等函数值的两个横坐标关于对称轴对称，所以轴为它们中点 -2；根距 2√2 给出零点 -2±√2，直接使用两根式。
设 f(x)=A[(x+2)²-2]。代入 f(0)=1 得 2A=1，所以 A=1/2，展开即 x²/2+2x+1。
代入 x=1 与 -5 都得到 7/2；两根之差为 2√2，且常数项为 1，所有条件吻合。
典例分析 · 差分/区间最值/参数
答案：f(x)=x²-x+1；m<-1
题目标签：差分确定二次函数与直线上方条件
f(x)=x²-x+1；m<-1
设一般二次式比较差分系数即可恢复函数；“始终在直线上方”转成 f(x)-2x 的区间最小值严格大于 m。
比较系数得 A=1、B=-1，f(0)=1 给 C=1。再令 h=f-2x=x²-3x+1，它在 [-1,1] 上递减，最小值 h(1)=-1。
因为题目说在直线上方而非不低于直线，需要 -1>m；m=-1 会在 x=1 相交，必须排除。
典例分析 · 绝对值/分段抛物线/根的个数
答案：a=3/4 或 13/16
题目标签：绝对值二次函数水平线三交点
a=3/4 或 13/16
把方程改写为 a=[|x²+4x+3|-x]/4，分析这个连续分段函数与水平线的交点数；关键转折点是 -3、-5/2、-1。
外侧 H=(x²+3x+3)/4；中段 H=(-x²-5x-3)/4，后者顶点值 13/16，且 H(-3)=3/4、H(-1)=1/4。水平线在 a=3/4 或顶点 a=13/16 时各有 3 个交点。
其余高度的交点数依次为 0、1、2、4 或 2，不会等于 3；两候选值直接代入分段方程均得到三个不同实根。
典例分析 · 二次函数/判别式/根距范围
答案：-2<b/a<-1；√3/3≤|x₁-x₂|<2/3
题目标签：函数值同号条件控制根距
-2<b/a<-1；√3/3≤|x₁-x₂|<2/3
先用 c=-a-b 把 f(0)f(1)>0 化成只含 r=b/a 的不等式；这也会自动证明 a 不能为零，并把根距降成一元函数。
a=0 会得到 -b²>0，矛盾。令 r=b/a，则 -(r+1)(r+2)>0，故 -2<r<-1。判别式为 4a²(r²+3r+3)>0，根距 d=2√(r²+3r+3)/3。
二次式在 r=-3/2 取最小 3/4，所以 d 最小 √3/3 可取；趋近两个开端点时 d→2/3 但不能取得。
典例分析 · 固定点/因式分解/对称轴
答案：两项结论均成立
题目标签：固定点方程根区间推出函数夹逼
两项结论均成立
把固定点方程直接因式分解为 f(x)-x=a(x-x₁)(x-x₂)；比较 f(x) 与 x₁ 时再提取共同因子 x-x₁。
0<x<x₁ 时两个因子同负，故 f(x)>x。又 f(x)-x₁=(x-x₁)[1+a(x-x₂)]，括号大于 1-ax₂>0，所以乘积为负。对称轴 x₀=(x₁+x₂)/2-1/(2a)。
由 x₂<1/a 得 x₀-x₁/2=(x₂-1/a)/2<0；所有不等号都使用严格根序，因此结论也是严格的。
反馈练习 · 零点式/待定系数
答案：f(x)=(2/5)(x-1)(x+2)
题目标签：三点中两零点确定二次函数
f(x)=(2/5)(x-1)(x+2)
两个纵坐标为零的点已经给出两个零点，直接写成两根式，只剩一个比例系数需要由第三点确定。
代入 (3,4) 得 4=A·2·5=10A，所以 A=2/5。
三个给定横坐标逐一代入都得到对应纵坐标，且首项系数非零，确为二次函数。
反馈练习 · 顶点式/最小值
答案：f(x)=2(x-3)²-7
题目标签：由顶点最小值和一点确定函数
f(x)=2(x-3)²-7
全局最小值 f(3)=-7 直接给出顶点 (3,-7)，用顶点式比一般式少两个未知系数。
代入点 (1,1)，得到 1=4A-7，所以 A=2。
A>0 确保 f(x)≥-7，且 f(1)=1，因此解析式满足全部条件。
反馈练习 · 绝对值方程/根的个数
答案：
题目标签：绝对值抛物线三零点
a=1
把 |(x-1)(x-3)| 看成把抛物线负值部分翻到上方；中间拱形在 x=2 的最高值是 1，只有水平线通过这个峰顶时交点从四个合并成三个。
a<0 无根，a=0 有两根；0<a<1 时内外共四根；a=1 时中间两根合成 x=2，外侧仍各一根；a>1 只有外侧两根。
a=1 确实产生三个互不相同实根，其他参数对应根数均不为三，因此答案唯一。
反馈练习 · 对称轴/顶点式
答案：f(x)=-4x²+4x+7
题目标签：对称值与最大值确定函数
f(x)=-4x²+4x+7
相等函数值对应点关于对称轴对称，所以轴为 (2-1)/2=1/2；最大值 8 给顶点，直接写开口向下的顶点式。
代入 x=2，距离顶点 3/2，得到 -1=(9/4)A+8，故 A=-4，展开得到 -4x²+4x+7。
f(2)=f(-1)=-1，且平方项系数为负，顶点函数值确为全局最大值 8。
反馈练习 · 零点距离/竖直平移/条件充分性
答案：只能确定函数族 f(x)=-(x-h)²+1（h∈R），不能唯一确定 h
题目标签：平移前后零点距离
只能确定函数族 f(x)=-(x-h)²+1（h∈R），不能唯一确定 h
用对称轴 h 表示原函数；原零点距离 2 说明到轴的水平半径为 1，竖直平移只改变常数项，不会提供 h 的信息。
上移 3 后零点满足 A[(x-h)²-1]+3=0，根距为 2√(1-3/A)=4，所以 1-3/A=4，解得 A=-1。
任意实数 h 都使原根为 h±1、距离 2，新根为 h±2、距离 4；因此题面不足以选出唯一 h，参数族才是完整答案。
反馈练习 · 交点/判别式/系数排序
答案：有两个不同交点；√3<|x₁-x₂|<2√3
题目标签：二次函数与一次函数交点根距
有两个不同交点；√3<|x₁-x₂|<2√3
交点方程为 ax²+2bx+c=0。用 r=b/a 和 c/a=-1-r 把排序压缩成 -1/2<r<1，再直接处理判别式与根距。
排序与和为零给 a>0、c<0，故根积 c/a<0，两根异号且不同。根距 d=2√(r²+r+1)，而该二次式在 (-1/2,1) 上严格递增。
端点处被开区间排除，二次式从 3/4 逼近 3，所以 d 的范围为 (√3,2√3)。
反馈练习 · 固定点/因式分解/证明
答案：f(t)>x₁
题目标签：固定点根距推出函数下界
f(t)>x₁
仍把 f(t)-t 写成固定点方程的因式积；为了与 x₁ 比较，再把 f(t)-x₁ 提取 t-x₁。根距条件正好控制另一个括号的符号。
t<x₁ 使第一因子为负；又 1+a(t-x₂)<1+a(x₁-x₂)=1-a(x₂-x₁)<0，所以第二因子也为负。
两个严格负因子之积严格为正，因此 f(t)-x₁>0；证明没有除以未知符号量，方向可靠。
反馈练习 · 固定点/判别式/垂直平分线
答案：(1) -1、3；(2) 0<a<1；(3) b_min=-√2/4
题目标签：二次函数不动点与对称点
(1) -1、3；(2) 0<a<1；(3) b_min=-√2/4
不动点满足 f(x)=x，即 ax²+bx+b-1=0；对任意 b 两异根要把它的判别式视作 b 的二次式恒正。对称条件说明给定直线是两点的垂直平分线。
(1) x²-2x-3=0 得 -1、3。(2) Δ_b 对所有 b 恒正要求其关于 b 的判别式 16a(a-1)<0，故 0<a<1。(3) 两点都在 y=x 上，垂直平分线斜率 k=-1，且根和 -b/a=1/(2a²+1)，所以 b=-a/(2a²+1)。
函数 a/(2a²+1) 在 a=1/√2 取最大 √2/4，因此带负号的 b 取最小 -√2/4；该 a 位于允许区间。