exams/lecture-12-quadratic-functions-ii/第十二讲_一元二次函数（二）.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
典例分析 · 配方/端点比较
答案：-2（选 C）
题目标签：开口向下抛物线的区间最小值
-2（选 C）
开口向下的二次函数在闭区间上的最小值一定在端点，配方还能直接比较两个端点离对称轴的距离。
对称轴是 x=2；端点 1 与 4 到轴的距离分别为 1、2，距离更远的 x=4 给更小函数值，y(4)=-2。
顶点 x=2 给最大值 2，不会成为最小值；比较完整候选点后最小值为 -2，对应选项 C。
典例分析 · 区间最值/参数范围
答案：1≤m≤2（选 C）
题目标签：由区间最大最小值反求右端点
1≤m≤2（选 C）
配方后顶点 x=1 取最小值 2，所以区间必须包含 1；左端点已给函数值 3，要保持最大值 3，右端点不能比它更远离对称轴。
包含顶点要求 m≥1；又 y(m)≤3 等价于 (m-1)²≤1。结合闭区间 [0,m] 的 m≥0，得到 m≤2。
m=1 与 m=2 都分别在端点取得允许的最大或最小值，故两个端点均保留，答案 [1,2]。
典例分析 · 对称轴/距离比较
答案：f(2)<f(1)<f(4)（选 A）
题目标签：由对称关系比较函数值
f(2)<f(1)<f(4)（选 A）
恒等的对称关系直接说明对称轴为 x=2；首项系数为正，函数值随横坐标到轴的距离增大而增大。
三个点到对称轴的距离依次为 0、1、2，因此函数值严格按同样顺序排列。
二次项系数固定为 1>0，不会出现开口方向反转；常数 b,c 只平移图象，不影响这次距离比较。
典例分析 · 消元/闭区间最值
答案：3/4（选 B）
题目标签：非负线性约束下二次式最小值
3/4（选 B）
线性约束最适合消去一个变量，同时由非负条件写出剩余变量的闭区间，再检查二次函数顶点是否落在区间内。
代入得 z=3y²-4y+2，其顶点 y=2/3 在区间右侧，所以函数在 [0,1/2] 上递减，最小值在 y=1/2。
此时 x=0、y=1/2 满足全部非负约束，等号点可取，因此最小值确为 3/4。
典例分析 · 韦达定理/判别式/参数最值
答案：
题目标签：实根条件下根平方和最小值
1
根平方和用韦达定理化成 m 的二次式，但 m 还受“有实根”的判别式约束，最小点必须在可行域内寻找。
判别式 4m²-4(1-m²)=8m²-4≥0，故 m²≥1/2。于是 6m²-2≥3-2=1。
m=±1/√2 时判别式为零，仍属于两实根（可为重根）的表述，且确实取得下界 1。
典例分析 · 指数函数/换元/单调性
答案：
题目标签：指数换元求最小值
3
令 t=2^x，把两个指数项化成同一个正变量的二次式；x≥0 对应 t≥1，定义域边界非常关键。
t²+2t 在 t≥1 上严格递增，因此最小值在 t=1，也就是 x=0 处取得。
若漏掉 x≥0 会错误讨论 t→0；按原题边界 x=0 合法，所以最小值而非仅下确界为 3。
典例分析 · 根式/定义域/平方
答案：最大值 √2，最小值 1
题目标签：两个根式和的最值
最大值 √2，最小值 1
根式给出 0≤x≤1。函数非负，可以平方，把问题转成控制 x(1-x)；这个二次式在区间中点最大、端点最小。
0≤x(1-x)≤1/4，所以 1≤y²≤2；因 y≥0，得到 1≤y≤√2。
x=0 或 1 时 y=1，x=1/2 时 y=√2，两个界都能取得。
典例分析 · 差分/配方/区间最值
答案：f=x²-x+1；最大值 3，最小值 3/4
题目标签：差分确定函数并求区间最值
f=x²-x+1；最大值 3，最小值 3/4
先比较一般二次式的差分系数恢复函数，再把它配方；闭区间最值候选是顶点和两个端点。
顶点 x=1/2 位于区间内，给最小值 3/4；端点值 f(-1)=3、f(1)=1，所以最大值为 3。
顶点和两端点已覆盖所有候选，故最大、最小值完整且都能取得。
典例分析 · 参数/区间最小值/分类
答案：a≤0 时 1；0≤a≤1 时 1-a²；a≥1 时 2-2a
题目标签：含参数顶点相对固定区间的位置
a≤0 时 1；0≤a≤1 时 1-a²；a≥1 时 2-2a
配方后顶点横坐标就是 a，参数分类只需判断 a 在区间左侧、内部还是右侧。
a≤0 时函数在 [0,1] 上递增，最小在 x=0；0≤a≤1 时顶点可取；a≥1 时函数在区间上递减，最小在 x=1。
临界值 a=0、1 两侧公式分别相等，所以可按闭区间书写且没有跳跃。
典例分析 · 绝对值/分段二次函数/参数
答案：a<-1/2 时 3/4-a；|a|≤1/2 时 a²+1；a>1/2 时 a+3/4
题目标签：平方项加到定点距离的最小值
a<-1/2 时 3/4-a；|a|≤1/2 时 a²+1；a>1/2 时 a+3/4
绝对值在 x=a 分段；每段都是抛物线，但其顶点必须满足相应的 x≤a 或 x≥a 约束。分界参数来自顶点 ±1/2 是否落在本段。
a<-1/2 时右段顶点 x=-1/2 合法，最小 3/4-a；-1/2≤a≤1/2 时左右导数在 x=a 两侧变号，最小在折点，值 a²+1；a>1/2 时左段顶点 x=1/2 合法，最小 a+3/4。
在 a=±1/2 时相邻公式都给 5/4，故中段可包含端点，三段覆盖全部实数。
反馈练习 · 平方和约束/乘积/最值
答案：最大值 1，最小值 3/4（选 D）
题目标签：圆约束下乘积二次式范围
最大值 1，最小值 3/4（选 D）
先乘开得到 1-x²y²；平方和固定时 |xy|≤1/2，所以只需判断 x²y² 的范围。
由 2|xy|≤x²+y²=1，得 0≤x²y²≤1/4，因此 3/4≤1-x²y²≤1。
x=0,y=±1 时取最大 1；|x|=|y|=1/√2 时取最小 3/4，两个端点均可达。
反馈练习 · 对称轴/单调性/参数
答案：a≤1 或 a≥2（选 D）
题目标签：二次函数在区间上单调的参数范围
a≤1 或 a≥2（选 D）
开口向上抛物线以 x=a 为对称轴；要在整个区间单调，顶点不能落在区间内部。
a≤1 时区间内 x-a≥0，函数单调递增；a≥2 时 x-a≤0，函数单调递减；1<a<2 时先减后增。
a=1 或 2 时顶点在端点，仍不破坏区间单调性，所以两端等号应保留。
反馈练习 · 区间最值/端点
答案：0≤m≤1（选 C）
题目标签：由给定最大最小值反求左端点
0≤m≤1（选 C）
函数写成 (x-1)²+4；最小值 4 要求区间包含顶点 1，最大值 5 已由右端点 x=2 提供，同时左端不能离轴更远。
包含 1 给 m≤1；保持 f(m)≤5 给 |m-1|≤1，即 0≤m≤2。联立得到 0≤m≤1。
两个端点 m=0、1 都满足给定最大最小值，故答案为闭区间 [0,1]。
反馈练习 · 开口向下/参数/最大值
答案：-1≤a≤2（选 C）
题目标签：区间内能否取得顶点最大值
-1≤a≤2（选 C）
配方后 f=2-(x-a)²，全局最大值 2 只在 x=a 取得，因此参数 a 必须落在给定区间内。
若 -1≤a≤2，顶点 x=a 可取，最大值正是 2；若 a 在区间外，平方项始终大于零，最大值严格小于 2。
区间闭，所以 a=-1、2 时顶点在端点仍可取得，端点等号都保留。
反馈练习 · 单调性/区间/参数
答案：1≤a≤3
题目标签：端点取得区间最小值
1≤a≤3
闭区间写法先要求 a≥1；抛物线在顶点 x=3 左侧递减，只有右端点不越过顶点时，它才是全区间最小点。
当 1≤a≤3，函数在 [1,a] 上递减，故最小值为 f(a)；a>3 时区间包含 x=3，而 f(3)<f(a)。
a=1 时区间退化为单点仍满足；a=3 时右端点就是顶点，也满足，故两端均包含。
反馈练习 · 顶点式/解析式
答案：f(x)=-4x²+4x+7
题目标签：对称值与最大值确定函数
f(x)=-4x²+4x+7
相等函数值给对称轴 x=1/2，最大值给顶点 (1/2,8)，直接写顶点式。
代入 f(2)=-1 得 (9/4)A=-9，所以 A=-4；展开得到 -4x²+4x+7。
首项系数为负，顶点确为最大值；代入 2、-1 都得到 -1。
反馈练习 · 对称轴/代数恒等
答案：
题目标签：相等函数值横坐标和
c
相减并提取 x₁-x₂，能直接得到两个横坐标之和是对称轴横坐标的两倍。
因 x₁≠x₂，得到 x₁+x₂=-b/a。代入 f(-b/a)，二次项与一次项恰好抵消，只剩 c。
a、b 非零保证题面及除法有效；结果与具体 x₁、x₂ 无关，正符合抛物线对称性。
反馈练习 · 含参二次函数/区间最大值/分类
答案：a=3/4 或 a=-3/2-√2
题目标签：给定区间最大值反求二次项系数
a=3/4 或 a=-3/2-√2
按开口分类：a>0 时最大值在端点；a<0 时先判断顶点是否落在区间，再比较顶点值。
a>0 时令右端点值 1 得 a=3/4，左端点较小。a<0 时顶点在区间要求 a≤-1；令顶点值 -3-(2a-1)²/(4a)=1，得 a=-3/2±√2，仅 -3/2-√2 满足 a≤-1。
-1<a<0 时顶点在区间左侧，最大值为左端点，但相应方程给 a=-10/3 不在该段；所有分支已覆盖。
反馈练习 · 恒成立/区间最值/参数
答案：(1) -6≤a≤2；(2) -7≤a≤2
题目标签：二次函数恒不低于参数
(1) -6≤a≤2；(2) -7≤a≤2
把条件写成 g=x²+ax+3-a≥0。全实数用判别式或顶点；有限区间则按顶点 -a/2 与 [-2,2] 的相对位置分类。
全实数最小值 3-a-a²/4≥0，得 -6≤a≤2。区间上：a<-4 时最小在 x=2，要求 a+7≥0；-4≤a≤4 时用顶点条件并得 -4≤a≤2；a>4 时端点条件无解。
有限区间合并 [-7,-4) 与 [-4,2] 得 [-7,2]；所有等号对应端点或顶点取零，均可保留。
反馈练习 · 消元/区间二次函数/最值
答案：最小值 27/2，最大值 18
题目标签：非负线性约束下二次目标最值
最小值 27/2，最大值 18
用 y=6-2x 消元，非负条件给 x∈[0,3]；目标会化成一个标准二次函数。
代入并合并同类项得到 z=2x²-6x+18=2(x-3/2)²+27/2。顶点在区间内给最小值，两个端点都给 18。
x=3/2 时 y=3，满足约束并取最小；x=0 或 3 时分别对应 y=6 或 0，均取最大 18。