第十三讲 一元二次不等式

严格恒负要分二次项系数为负且判别式小于零，以及二次项退化后常数本身恒负两种情况。

a<2 时要求 Δ<0，得到 -2<a<2；a=2 时原式退化为 -4<0，仍恒成立；a>2 开口向上不可能恒负。

a=-2 时判别式为零且存在取等点，不满足严格小于零，因此左端开、右端闭。

正值出现在两根之间，说明抛物线开口向下；已知两端点就是两个根，用根积和根和直接反求 a、b。

根积 -1/6=2/a 得 a=-12；根和 -1/6=-b/a，代入 a=-12 得 b=-2。

原式 -12x²-2x+2 在两根之间为正，方向与题给解集一致，所以 a+b=-14。

“均不成立”按两个不等式都无解理解。第一式无解等价于对应二次式恒正；第二式要结合 a 的开口方向判断恒不大于零。

第一式无解给 -2<a<2。第二式只有 a<0 才可能无正值，且其最大值不大于零等价于判别式 1+4a≤0，即 a≤-1/4。

交集为 (-2,-1/4]；a=-1/4 时第二式最高点等于零，严格 >0 仍无解，可以保留。

把 p 收集成一次式，固定 x 后只需检查 p∈[-2,2] 的最坏端点；先提取 x-1 会让分类非常清楚。

令 t=x-1。t>0 时最坏 p=-2，要求 t(t-2)≥0，故 t≥2；t<0 时最坏 p=2，要求 t(t+2)≥0，故 t≤-2；t=0 恒等于零。

还原 x 得 x≤-1、x=1 或 x≥3；三个边界代入都满足非严格不等式。

式子只含 |x| 和 x²，令 t=|x|≥0 可化成普通二次不等式，再把 t 的区间还原成 x。

由开口向上得 0≤t<2 或 t>4；还原为 |x|<2 或 |x|>4。

严格不等式排除 ±2、±4，x=0 合法；解集关于原点对称，符合原式偶函数结构。

第一式是 (x-1)²-a，取其最小值即可得到 a 的符号；第二式随后能按这个符号正确排列两个因式根。

目标式因式分解为 (x-5a)(x+a)>0。因 a<0，有 5a<-a，开口向上时正值在两根外侧。

严格不等式删除两个根，且根序使用了 a<0，因此解为 x<5a 或 x>-a。

原式恰好分解为两个一次因子；参数 a 同时改变开口和根 1/a 的位置，所以以 a=0、1/2 为临界点分类。

a<0 时开口向下，负值在两根外且 1/a<2；a=0 退化为 -x+2<0；a>0 时负值在两根之间，再按 1/a 与 2 的先后分 a<1/2、=1/2、>1/2。

所有分支均为严格区间，两个根不包含；a=1/2 时两根重合且乘积从不小于零，因此无解。

这是两点加权方差恒等式，直接作差会出现 x(1-x)(a-b)²；a≠b 使最后的平方因子严格为正。

不等式等价于 x(1-x)≥0，两个零点是 0、1，开口向下的乘积在两点之间非负。

端点使两边相等，应保留；a≠b 排除了差恒为零导致全体实数的退化情形。

上下界在 x=1 相切，所以 f(1) 被迫等于 1；非负二次式 f-x 在 x=1 取零，只能是 k(x-1)²。

上界差为 (1/2-k)(x-1)²，故 0≤k≤1/2。再用 f(-1)=0：-1+4k=0，得到 k=1/4。

此时 f-x=(x-1)²/4≥0，上界减 f 也为 (x-1)²/4≥0，并通过 (-1,0)，故构造成立且参数被唯一确定。

恒正要兼顾 m>0 的开口判别式条件与 m=0 的常数退化情形；m<0 不可能恒正。

m>0 时要求 Δ<0，得 0<m<21/16；m=0 时原式为 21>0 也成立。

m=21/16 出现实根并取到 0，不满足严格正；左端 m=0 合法，所以区间左闭右开。

正值在两根之间说明开口向下，两个区间端点就是根；用根积最快确定二次项系数。

由 -2/(m²-3)=1 得 m²-3=-2，即 m²=1；此时根和 -5/(-2)=5/2，正好等于 1/2+2。

两值都使原式为 -2x²+5x-2>0，因式分解后解集确为 (1/2,2)。

倒序多项式 x²P(1/x)=cx²+bx+a，其非零根是原根的倒数；再由原开口方向确定新首项符号。

原式正值在两根间，故 a<0；根积 c/a=-2/3<0，所以 c>0。新抛物线开口向上，严格小于零在两个新根之间。

两个根均非零，倒数变换有效；严格不等式不含端点，选择 A。

根式对所有实数有意义等价于被开方二次式恒非负；配方后直接看开口和顶点最小值。

a<0 时两端趋于负无穷，不可；a=0 恒为 4；a>0 时最小值 4-a≥0，所以 a≤4。

a=4 时被开方式为 4(x-1)²，仍处处非负，应保留。原选项给出的上界 1 与题面计算不符。

首个乘积为负表示 p 位于两个根 m,n 之间；第二个乘积为正表示 q 在区间外，再用 p<q 排除左侧。

因为 p>m 且 p<q，所以 q>p>m，不可能 q<m，只能 q>n。

该顺序逐项代入，p 的两因子异号、q 的两因子同正，完全符合条件。

非严格二次不等式只有在抛物线开口向下并与 x 轴相切时，非负解集才会缩成一个点。

由判别式为零得 a=-1/5，确为负数；此时原式=-(x-5)²/5≥0 只在 x=5 成立。

a=0 给半直线解集，开口向上重根会给全体实数，均不是单点，故答案唯一。

分母中的根式不仅要有意义，还不能为零，所以被开方式必须对所有 x 严格大于零；配方会出现固定正数 1。

a≥0 时 a(x+1)²+1≥1>0；a<0 时随 |x| 增大趋于负无穷，不可能全域有定义。

a=0 时分母恒为 1，完全合法，因此端点 0 应包含。

移项后可因式分解为 (x+1)(ax-2)；按 a 的符号和两个根 -1、2/a 的先后分类。

a>0 时开口向上取两根外；a=0 退化；a<0 时开口向下取两根之间，而 a=-2 是根序交换的临界点。

非严格不等式包含所有根；a=-2 时两根重合，解集恰为单点，已单列。

首项恒正，严格小于零只有在存在两个不同实根时才有解，因此先看判别式，再写两根之间。

Δ>0 等价于 a<0 或 a>1，两根为 a±√(a²-a)，解集是它们之间；Δ≤0 时抛物线不低于零，严格不等式无解。

a=0、1 都是重根且只能取到零，不能满足严格小于零，所以归入无解分支。

观察常数项和一次项可发现两个根正好是 2 与 3a+1；参数只改变二者顺序。

开口向上，负值在两根之间。比较 3a+1 与 2，以 a=1/3 为临界点写出两个区间。

临界值时两根重合，乘积为平方不可能严格小于零；其余分支端点均删除。