exams/lecture-14-absolute-value-inequalities/第十四讲_绝对值不等式.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
典例分析 · 绝对值等价变形/分段
答案：(1)-1≤x≤2；(2)x<1/3或x>1；(3)1/3<x<1；(4)x≤1/3或x≥3
题目标签：四种基本绝对值不等式
(1)-1≤x≤2；(2)x<1/3或x>1；(3)1/3<x<1；(4)x≤1/3或x≥3
右边是正常数时直接用双边或两侧等价式；右边含 x 时先判断其正负，不能在右边为负时机械平方。
(1) 解 -3≤2x-1≤3；(2) 解 3x-2<-1 或 >1；(3) 先由 x>0，再解 -x<2x-1<x；(4) 对 x+1≤0 自动成立，其余按 x≤1、x≥1 分段。
第四项各段合并为 x≤1/3 或 x≥3；所有严格项删除边界，非严格项保留等号点。
典例分析 · 绝对值/分式符号
答案：x<0 或 x>2（选 B）
题目标签：分式绝对值不等式选择题
x<0 或 x>2（选 B）
注意 x/(2-x)=-x/(x-2)。令 u=x/(x-2)，原式成为 |u|>-u，按 u 的符号即可判断。
u>0 等价于分子 x 与分母 x-2 同号，因此 x<0 或 x>2。
x=0 两边相等不满足严格号，x=2 无定义也排除，故选择 B。
典例分析 · 三角不等式/恒成立/参数
答案：1（选 B）
题目标签：绝对值距离和恒成立的最大参数
1（选 B）
两个距离之和的最小值是两定点间距离 |a-2|；恒成立只需让这个最小值不小于右边 a。
解 |a-2|≥a。若 a≤2，得到 2-a≥a，即 a≤1；a>2 时 a-2≥a 不可能。
a=1 时最小距离为 1，确能取等；所有更大的 a 都在两点间某个 x 处失败，所以最大值为 1。
典例分析 · 距离差/值域/参数
答案：a≥1（选 D）
题目标签：绝对值距离差恒成立
a≥1（选 D）
到两点距离之差的绝对值不超过两点距离 1，因此原差的最大值是 1；恒成立等价于参数不小于最大值。
当 x≤3 时差为 1，最大值确实取到，所以必须且只需 a≥1。
a=1 包含所有 x 并在左侧半轴取等，故端点保留。
典例分析 · 分段/距离和
答案：
题目标签：两个距离之和小于常数
0<x<3
分界点是 1、2；两点之间距离和恒为 1，外侧则随离区间的距离线性增加。
左段 3-2x<3 给 x>0；中段全部成立；右段 2x-3<3 给 x<3，合并为 (0,3)。
x=0、3 都使距离和等于 3，因严格小于必须删除。
典例分析 · 最小值/恒成立/参数
答案：c<0 或 c>1
题目标签：距离和严格大于常数恒成立
c<0 或 c>1
两个距离之和的最小值是两个定点 1 与 2c 之间的距离；严格恒大于 1 要求这个最小值本身严格大于 1。
解 |1-2c|>1，得到 1-2c>1 或 1-2c<-1，即 c<0 或 c>1。
c=0、1 时最小值恰为 1，不满足严格号，因此两个边界都排除。
典例分析 · 最小值/无解/参数
答案：a≤3
题目标签：距离和不等式无解
a≤3
左侧是到 -2、1 两点的距离和，最小值为两点间距离 3；严格小于 a 有解当且仅当 a>3。
若 a≤3，左侧始终≥3≥a，严格不等式不成立；若 a>3，在区间 [-2,1] 上左侧等于 3<a，有解。
a=3 时只能取等而不能严格小于，仍无解，所以端点 3 包含。
典例分析 · 区间中心/半径/题源异常
答案：按题面不存在实数 a
题目标签：由绝对值不等式解集反求系数
按题面不存在实数 a
|ax-3|<7（a≠0）的解集中心是 3/a、半径是 7/|a|；给定区间的中心和半径必须同时匹配。
中心 (-5+1)/2=-2 给 a=-3/2；半长 (1-(-5))/2=3 却给 |a|=7/3，两者矛盾。
直接代 a=-3/2 得到的半径为 14/3，并非 3；因此清晰印刷条件下没有实数 a，应回查区间或常数。
\nexists a\in\mathbb R
典例分析 · 分段/绝对值换元
答案：(1)x≤5/3或x≥3；(2)(3-√13)/2<x<(1+√13)/2
题目标签：两个复合绝对值不等式
(1)x≤5/3或x≥3；(2)(3-√13)/2<x<(1+√13)/2
第一式按零点 -1、2 分三段；第二式把 x²-2x 写成 (x-1)²-1，再令 t=|x-1|≥0。
第一式三段分别给 x<-1、-1≤x≤5/3、x≥3，合并为 x≤5/3 或 x≥3。第二式正根 r=(√13-1)/2，故 |x-1|<r。
还原第二式得到 ((3-√13)/2,(1+√13)/2)，严格号删除两个端点；第一式的非严格边界保留。
典例分析 · 区间端点/参数
答案：2a≤x≤a²+1
题目标签：中心半径形式的参数绝对值不等式
2a≤x≤a²+1
绝对值不等式直接给中心加减半径两个端点；再比较端点顺序，差恰好是平方。
c-r=2a，c+r=a²+1；且 a²+1-2a=(a-1)²≥0，所以端点顺序对所有 a 都不变。
a=1 时两端同为 2，解集退化为单点，非严格不等式允许该情形。
反馈练习 · 分段/符号
答案：x<1 且 x≠-1（选 D）
题目标签：乘积与绝对值符号
x<1 且 x≠-1（选 D）
两个因子的零点是 -1、±1；按 |x|<1 与 |x|>1 判断第二因子符号，再与 1+x 配对。
在 (-1,1) 两因子都正；x<-1 时两因子都负，乘积也正；x>1 时一正一负。
x=±1 使乘积为零，严格不等式排除；合写为 x<1 且 x≠-1。
反馈练习 · 绝对值/参数/点检验
答案：a≥1/4（选 B）
题目标签：指定点不属于解集反求参数
a≥1/4（选 B）
不必先求整个解集；2 不属于 M 只需把 x=2 代入并取原不等式的否定，同时注意右侧 a 必须允许绝对值不大于它。
双边展开 -a≤a-1/2≤a。右半边恒成立，左半边给 2a≥1/2，即 a≥1/4。
a=1/4 时 x=2 处恰好取等，原严格大于不成立，因此 2 确实不在 M，端点包含。
反馈练习 · 最大值/无解/参数
答案：a>3（选 A）
题目标签：距离差上界导致无解
a>3（选 A）
两个距离之差的取值范围是两定点距离的正负，即 [-3,3]；要让不小于 a 完全无解，a 必须超过最大值。
当 x≥1 时差恰为 3，所以 a≤3 总有解；只有 a>3 时左侧永远达不到。
a=3 在整条 x≥1 的半轴上取等，不能归入无解，故左端严格。
反馈练习 · 距离差/无解/题源异常
答案：按题面不存在实数 c
题目标签：含参距离差无解的题源矛盾
按题面不存在实数 c
距离差的最小值是两定点距离的负数。严格小于 c 无解，当且仅当 c 不大于这个最小值。
需 c≤-|3-2c|，因此 c≤0；此时 |3-2c|=3-2c，条件化为 c≤-3+2c，即 c≥3，矛盾。
所以按清晰可见题面没有实参数满足，原四个选项无法匹配，应视为题源符号或参数排版异常。
\nexists c\in\mathbb R
反馈练习 · 定义域/绝对值
答案：1/2≤x<5
题目标签：根式绝对值不等式
1/2≤x<5
先写根式定义域 x≥1/2，再把绝对值拆成双边；根式本身非负会自动满足下界。
得到 -1<√(2x-1)<3。左式由非负性恒真，右式平方得 2x-1<9，即 x<5。
x=1/2 时根式为 0，绝对值为 1<2，应保留；x=5 时等于 2，严格号排除。
反馈练习 · 绝对值性质/二次式
答案：0≤x≤2
题目标签：绝对值等于相反数
0≤x≤2
右边正好是 u=x²-2x 的相反数；恒等式 |u|=-u 当且仅当 u≤0。
解 x²-2x=x(x-2)≤0，得到两根之间 0≤x≤2。
两个端点使两边都为零，等式成立，应保留。
反馈练习 · 分段/二次不等式
答案：x<-2 或 x>1+√3
题目标签：二次式大于一次绝对值
x<-2 或 x>1+√3
以 2x+1=0 为分界去掉绝对值，每段得到一个可因式或求根的二次不等式，再与分段条件取交集。
第一段解 x<1-√3 或 x>1+√3，与 x≥-1/2 交后只剩 x>1+√3；第二段解 x<-2 或 x>0，与 x<-1/2 交后只剩 x<-2。
两个边界都对应等号，因严格大于必须删除；分段点 -1/2 代入不满足。
反馈练习 · 区间中心/半径
答案：
题目标签：由绝对值解集反求线性系数
a=-4
解集中心是 -2/a，半径是 6/|a|；给定区间中心 1/2、半径 3/2，可同时确定符号和绝对值。
中心方程直接给 a=-4，半径检查也给 |a|=4，完全一致。
代回 |-4x+2|<6 得 -6<-4x+2<6，解为 -1<x<2。
反馈练习 · 绝对值换元/二次不等式
答案：[-4,-2]∪[-1,1]∪[2,4]
题目标签：关于 |x| 的复合绝对值
[-4,-2]∪[-1,1]∪[2,4]
令 t=|x|≥0，原式成为 |t²-3t-1|≤3，再把双边条件分别因式分解。
左边给 (t-1)(t-2)≥0，即 t≤1 或 t≥2；右边给 (t-4)(t+1)≤0，即 0≤t≤4。交集为 [0,1]∪[2,4]。
还原正负两侧得到 [-1,1] 与 [-4,-2]∪[2,4]，非严格端点全部保留。
反馈练习 · 最大解/连续性/参数
答案：
题目标签：由解集最大值反求绝对值参数
a=8
最大解为 3 首先要求 x=3 取到，且连续函数在 3 右侧立刻越过 5；若 x=3 处严格小于 5，连续性会产生更大的解。
候选 a=-2、8。a=8 时 x≥3 上第一绝对值内部恒正，左侧从 5 严格递增；a=-2 时 x=3 右邻域内第一项绝对值反而下降，仍有大于 3 的解。
因此只有 a=8 使 3 是可行集的最右端点；代入 x=3 左侧等于 5，确属解集。