exams/lecture-15-root-distribution-i/第十五讲_根的分布（一）.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
典例分析 · 根的正负/判别式/退化
答案：m≤1（选 D）
题目标签：至少一个正根的参数范围
m≤1（选 D）
按 m 的符号使用根积：m<0 时两根异号；m>0 时若有实根且根和为正，两根同为正；m=0 要单独处理一次方程。
m<0 时根积负，必有一个正根；m=0 时根为 1/3。m>0 时需 m<3 且 Δ=(m-1)(m-9)≥0，交集为 0<m≤1。
合并为 m≤1；m=1 时有正重根 x=1，仍满足“至少一个”，故端点保留。
典例分析 · 二次函数对称/韦达定理
答案：6（选 C）
题目标签：由对称轴确定两根和
6（选 C）
恒等的对称关系说明抛物线对称轴为 x=3；两个零点关于对称轴对称，中点就是 3。
两个零点到对称轴的距离相等，把中点等式两边乘 2，直接得到 x₁+x₂=6。
两个根不等只保证它们分居对称轴两侧，不影响根和结论，选择 C。
典例分析 · 指数方程/二次方程/题源选项异常
答案：按题面 a<-2；原选项无匹配项
题目标签：指数换元后的两个正根
按题面 a<-2；原选项无匹配项
令 t=2^x>0，x 的两个不同实根等价于关于 t 的二次方程有两个不同正根，需同时检查判别式、根和、根积。
两正根要求 -2a>0、2-a>0，先得 a<0；判别式 4(a+2)(a-1)>0，再与 a<0 联立得到 a<-2。
a=-2 时为重根，不能包含；任取 a<-2 时根和、根积均正且判别式正，确有两个不同正根。
典例分析 · 韦达定理/判别式
答案：|x₁+x₂|>4（选 B）
题目标签：定根积下根和绝对值
|x₁+x₂|>4（选 B）
两个不等实根直接给判别式 p²-16>0；根和等于 -p，所以只需翻译绝对值。
由 x₁+x₂=-p，得到 |x₁+x₂|=|p|>4。
根积固定为 4 不能推出两个根绝对值都大于 2，只有根和绝对值结论始终成立，故选 B。
典例分析 · 值域/单点解/参数
答案：a=±2
题目标签：双边二次不等式恰有一解
a=±2
二次函数值域从顶点最小值向上连续；要让落在 [0,4] 的自变量集合只有一个点，只能让顶点值恰好等于上界 4。
令 5-a²/4=4，得到 a²=4，即 a=±2；此时 q(x)≥4，且 q=4 只在顶点一个 x 处成立。
若最小值小于 4，连续性会产生一个区间或多个点，不可能只有一个解；两候选均满足下界 q≥0。
典例分析 · 根的分布/参数/端点
答案：
题目标签：闭区间内恰有一个方程根
0<a<1
把方程对参数反解为 a=(x+1)/(2x²)，分别研究 x∈[-1,0) 与 x∈(0,1] 上的值域和单调性。
负半区分支从 a=0 单调增到无穷，对每个 a>0 给一个负根；正半区分支值域为 [1,∞)，仅当 a≥1 再给一个正根。结合 a≠0，恰一根要求 0<a<1。
a=1 时根为 -1/2、1，区间内已有两个；a≤0 在 a≠0 条件下没有区间根，因此边界均正确。
典例分析 · 交点/两正根/判别式
答案：0<a<(2-√3)/4
题目标签：分式曲线与直线在右半轴两交点
0<a<(2-√3)/4
联立后得到二次方程；两个交点在右侧就是两个不同正根，使用根和、根积与判别式三条件。
根积恒为 12>0，根和 1/a-8>0 迫使 0<a<1/8。判别式 16a²-16a+1>0，在该区间只保留 a<(2-√3)/4。
端点 a=(2-√3)/4 给重根，不是两个不同交点，故严格排除；所得范围自动避开分式禁点。
典例分析 · 介值/二次函数/证明
答案：存在区间根
题目标签：两个方程各一根之间再插入一根
存在区间根
令 H(x)=(a/2)x²+bx+c，它是前两个多项式的适当中间组合；利用各自根条件计算 H(x₁)、H(x₂) 的符号。
由 x₁、x₂ 非零，H(x₁)H(x₂)=-(a²/4)x₁²x₂²<0（a 不能为零，否则两原方程相同且无法按题意区分）。
H 连续且在区间两端异号，由零点存在定理，在 (x₂,x₁) 内至少有一个实根。
典例分析 · 交点/根距/参数范围
答案：有两交点；√3<投影长<2√3
题目标签：系数排序下交点投影长度
有两交点；√3<投影长<2√3
交点方程 ax²+2bx+c=0，与系数排序结合时令 r=b/a；排序给 -1/2<r<1，根距成为 r 的单调函数。
a>0、c<0 使根积为负，故两根异号且不同。根距 d=2√(r²+r+1)，该式在 (-1/2,1) 上严格递增。
二次式端点值为 3/4、3，但严格排序排除端点，得到 √3<d<2√3。
反馈练习 · 根积/参数
答案：a<-2（选 B）
题目标签：一正一负根
a<-2（选 B）
首项为正，一正一负的充要条件是根积严格小于零，这还自动保证判别式为正。
根积必须严格为负，解不等式 2+a<0，得到唯一参数范围 a<-2。
a=-2 时一根为零，不属于正根或负根，所以端点必须排除。
反馈练习 · 根和根积/判别式/题源选项异常
答案：按题面 a>2；原选项无匹配项
题目标签：两个不同负根的参数
按题面 a>2；原选项无匹配项
两个负根需要根和为负、根积为正、判别式为正，三项缺一不可。
根和条件给 a>0，根积随之自动为正；判别式条件在 a>0 下给 a>2。
a=2 为重根 -2，不能包含；任取 a>2 时三条件全部成立，故按题面范围确定。
反馈练习 · 两正根/参数
答案：-5/4<k<0 或 0<k<5/4（选 D）
题目标签：抛物线两个正零点
-5/4<k<0 或 0<k<5/4（选 D）
根和固定为 5/4>0，根积 k²/4≥0；要两个严格正且不同，只需 k≠0 与判别式严格为正。
判别式给 |k|<5/4；k=0 时一个根为 0，不在原点右侧，必须删除。
剩余参数下根积正、根和正，所以两根均正且不同，选择 D。
反馈练习 · 顶点坐标/参数
答案：a>2（选 B）
题目标签：顶点位于第一象限
a>2（选 B）
直接计算顶点横、纵坐标，并分别要求严格为正。
x_v>0 给 a>1；y_v>0 给 a>2 或 a<-2，交集只有 a>2。
第一象限不含坐标轴，所以 a=2 必须排除，选择 B。
反馈练习 · 根和根积/判别式
答案：-2/5<k<0
题目标签：含参方程两个负根
-2/5<k<0
两个不同负根需根和负、根积正、判别式正，同时排除 k=2 的退化。
前两条件联立给 -2<k<0；判别式 -3(5k²-28k-12)>0 给 -2/5<k<6。取交得到 -2/5<k<0。
两个端点分别对应重根或零根，不符合两个负根，均用严格号排除。
反馈练习 · 指数换元/正根
答案：
题目标签：指数方程存在实根
a<-1
令 t=2^x>0，二次式恰好可因式分解；只需判断哪个代数根为正。
t=-1 不符合 t>0；另一根 t=-(a+1)>0 等价于 a<-1。
a=-1 给 t=0，但 2^x 永不为零，所以端点排除。
反馈练习 · 两正根/判别式
答案：
题目标签：抛物线与过原点直线的两个右侧交点
k>4
联立得到 x²+(2-k)x+1=0；根积恒正，两个正根需根和正且判别式正。
根和 k-2>0 给 k>2；判别式 k(k-4)>0 与之联立得 k>4。
k=4 是重合切点，不是两个不同交点，故严格排除。
反馈练习 · 零点距离/系数范围
答案：3/2<弦长<3
题目标签：系数排序下抛物线弦长范围
3/2<弦长<3
令 r=b/a。排序给 a>0、-1/2<r<1，且 c/a=-1-r；根距的根式恰好化成完全平方。
在 r∈(-1/2,1) 上 r+2>0，所以 d=r+2，直接得到 3/2<d<3。
严格系数排序使两个端点不能达到，故弦长范围为开区间。
反馈练习 · 解集/重根/二次函数解析式
答案：f(x)=-(x²+6x+3)/5
题目标签：由不等式解集和重根条件确定函数
f(x)=-(x²+6x+3)/5
令 h=f+2x。正值解集在两根之间，故 h=a(x-1)(x-3) 且 a<0；再用另一个方程判别式为零确定 a。
展开 f+6a=ax²-(4a+2)x+9a。判别式为 -4(5a²-4a-1)，令其为零得 a=1 或 -1/5，只保留 a<0 的 -1/5。
代回得 f=-(x²+6x+3)/5，且 f+2x=-(x-1)(x-3)/5，正值解集确为 (1,3)。
反馈练习 · 根/函数符号/证明
答案：1/a 是另一根，且 c<1/a，-2<b<-1
题目标签：由函数正值区间证明系数范围
1/a 是另一根，且 c<1/a，-2<b<-1
f(c)=0 可提取 c(ac+b+1)=0；区间 0<x<c 有意义说明 c>0，所以能得到系数关系并用韦达找另一根。
根积为 c/a，已知一根 c，另一根为 1/a。开口向上且 (0,c) 上为正，c 必是较小正根，故 c<1/a。又 b=-ac-1，且 0<ac<1。
由 0<ac<1 立即得 -2<b<-1，三个结论互相一致并使用了严格正值区间。