exams/lecture-16-root-distribution-ii/第十六讲_根的分布（二）.pdf · HS-MATH-1024-v2.1-solution-aware
典例分析 · 根的区间/抛物线符号
答案：m<a<b<n（选 A）
题目标签：函数值同号判断四数顺序
m<a<b<n（选 A）
抛物线开口向上，且 f(a)=f(b)=-2<0；函数为负的点必位于两根之间。
因此 m<a<n 且 m<b<n，再结合 a<b，得到唯一顺序 m<a<b<n。
a、b 关于对称轴对称且都处在负值区间，顺序与图象一致，选择 A。
典例分析 · 端点函数值/参数
答案：a<-2（选 C）
题目标签：指定点位于两根之间
a<-2（选 C）
首项为正，点 x=1 位于两根之间当且仅当函数值 f(1)<0，这一条件还自动保证存在两个不同实根。
把点 x=1 代入后的函数值严格小于零，解不等式 a+2<0，得到 a<-2。
a=-2 时 x=1 本身是一根，不满足一根严格大于、另一根严格小于，端点排除。
典例分析 · 指数方程/区间根
答案：-2<a<-1（选 A）
题目标签：指数换元后一根在 1 两侧
-2<a<-1（选 A）
令 t=2^x>0；正、负 x 分别对应 t>1、0<t<1，所以二次多项式应在 t=0 为正、t=1 为负。
P(0)=a+2>0 给 a>-2；P(1)=3(a+1)<0 给 a<-1，联立为 -2<a<-1。
端点分别产生 t=0 或 t=1，不对应严格负、正 x；区间内符号变化保证两根各落在指定区间。
典例分析 · 平移根/两负根
答案：m≥3（选 B）
题目标签：两根都小于给定点
m≥3（选 B）
令 x=y+1，把“两根都小于 1”转成关于 y 的两根都负，再用根和、根积、判别式。
两负根要求 m+1>0，判别式 4(m+1)(m-3)≥0；联立得到 m≥3。
m=3 时为负重根 y=-4，即 x=-3<1，题面未要求相异，所以端点保留。
典例分析 · 端点值/首项符号/参数
答案：0<k<4/5
题目标签：一点夹在两根之间
0<k<4/5
点 1 在两根之间时，函数值与首项系数符号相反；这个单一条件同时排除退化并保证两侧各有根。
首项系数为 2k，f(1)=5k-4，所以 2k(5k-4)<0，解得 0<k<4/5。
两个端点分别使方程退化或令 x=1 成为根，均不满足严格分居，故范围开区间。
典例分析 · 整数系数/区间根/最小值
答案：5
题目标签：整数系数方程在单位区间两根
5
根 α,β∈(0,1) 给 q=mαβ 与 P(1)=m(1-α)(1-β) 都是介于 0 与 m 的正整数，可据此有限排除小 m。
对 m=1,2,3,4 枚举上述有限整数 q、P(1)，判别式均不能同时为正并把两根留在开区间。m=5 取 n=-5、q=1，方程 5x²-5x+1=0。
给出的 m=5 示例确有两个不同区间根，而所有更小正整数已由整数端点值穷尽排除，所以最小值为 5。
典例分析 · 指数换元/因式分解/题源异常
答案：按题面不可能
题目标签：指数方程两个负根的题源矛盾
按题面不可能
令 t=2^x>0，若有两个不同 x 根就必须有两个不同正 t 根；先检查代数方程本身能否提供两个正根。
一个根恒为 t=-1，不在指数换元值域；另一个根 t=-a-1 最多给一个实数 x，因此不可能出现两个不相等根，更不可能两个都负。
这是结构性矛盾，与参数取值无关；应回查原题常数项或符号，按印刷题面答案为空集。
\nexists a\in\mathbb R
典例分析 · 端点异号/参数交集
答案：-2<p<-1 或 3<p<4
题目标签：两根分别位于相邻区间
-2<p<-1 或 3<p<4
开口向上，要在 (0,1)、(1,2) 各有一根，只需端点符号依次为正、负、正。
三式分别化为 (p-2)(p+1)>0、(p-4)(p+2)<0、p(p-3)>0。求交得到 (-2,-1)∪(3,4)。
严格区间要求端点函数值不能为零，所以四个边界全部排除；符号变化保证每段恰有一根。
典例分析 · 区间方程/参数值域
答案：m≤-1
题目标签：抛物线与有限线段有交点
m≤-1
交点方程可对 m 反解；x=0 不可能是交点，所以在 x∈(0,2] 上求参数函数的值域。
φ(x)=1-x-1/x 在 (0,1] 上递增、[1,2] 上递减，最大值 φ(1)=-1；x→0+ 时趋于负无穷。
m=-1 在 x=1 相交可取，任意更小 m 在左支存在交点，因此范围完整。
典例分析 · 区间根/函数值域
答案：-9/16<k<-1/2
题目标签：水平线在开区间内截抛物线两点
-9/16<k<-1/2
把左侧看作抛物线 h(x)，顶点在 3/4；水平线要同时与顶点左右两支在开区间内相交，取两支值域的交集。
右支 x∈(3/4,1) 的值域是 (-9/16,-1/2)，左支在该高度也有一个根且落在 (-1,3/4)。
下端给重根，右端的右根为开区间端点 x=1，均不能包含。
反馈练习 · 根区间/对称点
答案：a<m<n<b（选 B）
题目标签：函数值为正时根与参数点顺序
a<m<n<b（选 B）
f(a)=f(b)=2007>0，而抛物线开口向上；若存在两根，负值区间在根之间，a、b 又关于对称轴等距，只能各在一侧外部。
左侧点 a 位于左根 m 的左边，右侧点 b 位于右根 n 的右边，因此 a<m<n<b。
对称轴为 (a+b)/2，两个零根也关于同一轴对称，顺序与对称性一致，选择 B。
反馈练习 · 端点值/参数
答案：a<-4/3（选 C）
题目标签：给定点夹在两根之间
a<-4/3（选 C）
首项为正，2 位于两根之间等价于 P(2)<0。
将 x=2 代入并要求函数值严格小于零，解 4+3a<0 得到 a<-4/3。
a=-4/3 时 2 本身是根，不满足严格分居，故端点排除。
反馈练习 · 平移根/两正根
答案：0<k≤1/4（选 D）
题目标签：两根都大于给定点
0<k≤1/4（选 D）
令 x=y+5，把两根都大于 5 变成 y 方程两根都正。
根和恒为 1>0，根积 k>0；有实根要求判别式 1-4k≥0，得到 0<k≤1/4。
k=1/4 给正重根 y=1/2，仍是两个实根按题面可重；k=0 有零根，不得包含。
反馈练习 · 根和根积/选择题
答案：b=5,c=1（选 C）
题目标签：整数系数与根所在负区间
b=5,c=1（选 C）
两根在 (-1,0) 给根和在 (-2,0)、根积在 (0,1)，先把整数 b,c 限制到很小范围，再核对选项。
选项中 b=5,c=1 时判别式 5>0，两根 (-5±√5)/10 均严格位于 (-1,0)；其余符号或实根条件不符。
两个根约为 -0.724、-0.276，区间条件完整满足，选择 C。
反馈练习 · 端点值/对称轴/参数
答案：11/6<k<3
题目标签：两根落在指定开区间
11/6<k<3
用区间根判别：判别式为正、对称轴在区间内，并要求两个端点函数值与首项系数同号。
可行分支必须 k>1；此时两个端点值均正给 k>11/6、k<3，对称轴条件在该交集内自动满足，判别式 (k-2)²+8 恒正。
两个端点值严格为正保证根不落在边界；k=1 的退化也已排除。
反馈练习 · 端点函数值
答案：
题目标签：给定点夹在两根之间的参数
m<0
首项为正，2 位于两根之间当且仅当 P(2)<0。
由于首项系数 5 为正，点 2 夹在两根之间要求 P(2)=m<0，所以直接得到 m<0。
m=0 时 x=2 是根，不满足严格一大一小，故端点排除。
反馈练习 · 指数换元/区间根/题源异常
答案：按题面不可能
题目标签：指数方程正负根条件的题源矛盾
按题面不可能
令 t=3^x>0；一正一负 x 等价于两个 t 根分居 1 两侧，并且较小根仍大于 0，所以检查 P(0)、P(1) 的符号。
较小根在 (0,1) 要 P(0)=a-2>0；1 在两根间要 P(1)=2a-1<0。二者要求 a>2 且 a<1/2，矛盾。
因此任何实参数都无法满足印刷条件，应回查常数项符号。
\nexists a\in\mathbb R
反馈练习 · 端点异号/参数
答案：
题目标签：两根分别位于 (0,1) 与 (1,∞)
a>1
开口向上，P(0)>0、P(1)<0 就保证 (0,1) 有一根；右端趋于正无穷，再保证 (1,∞) 有另一根。
端点 0 左侧函数值为正、点 1 位于两根之间函数值为负，两式联立得到 a>1。
严格符号变化自动给两个不同实根；a=1 时 1 为根，不在开区间，故排除。
反馈练习 · 指数换元/基数分类/根分布
答案：A>1：同正 -2<m≤-1，同负无解，异号 m<-2；0<A<1：同负 -2<m≤-1，同正无解，异号 m<-2
题目标签：指数换元后根的正负分类
A>1：同正 -2<m≤-1，同负无解，异号 m<-2；0<A<1：同负 -2<m≤-1，同正无解，异号 m<-2
令 t=A^x>0。先保证 t 方程有两个正根，再比较它们与 1；x 与 t-1 同号还是反号取决于 A>1 或 A<1。
两个正 t 根要求 m≤-1。令 u=t-1，u 方程根积为 m+2、根和为 -2m：-2<m≤-1 时两个 u 正，m<-2 时 u 一正一负，m=-2 有一个 x=0。A<1 时 x 符号与 u 相反。
据基数单调方向交换同正与同负结论；异号范围不变。若题目要求两根相异，应把 m=-1 从闭端改为开端。
反馈练习 · 固定点/韦达定理/参数值域
答案：(1)x₀>-1；(2)b<1/4
题目标签：固定点根位置与函数对称轴、系数范围
(1)x₀>-1；(2)b<1/4
固定点方程是 ax²+(b-1)x+1=0。用根和、根积把 f 本身的对称轴和 b 都写成 x₁,x₂ 的函数。
(1) x₀=-b/(2a)=(x₁+x₂-x₁x₂)/2；由 0<x₁<2、2<x₂<4 可得 (x₁-1)(x₂-1)<3，从而 x₀>-1。(2) 令 x₁=t∈(0,2)、x₂=t+2，则 b=(t²-2)/[t(t+2)]。
b'(t)=2(t²+2t+2)/[t²(t+2)²]>0，且 t→0+ 时 b→-∞、t→2- 时 b→1/4，所以 b<1/4。