数据复核

复习参考题 5 复习巩固

我们约定，如果从上下文的关系看，\(x \in \mathbf{R}\)，\(x \in \mathbf{Z}\) 是明确的，那么 \(x \in \mathbf{R}\)，\(x \in \mathbf{Z}\) 可以省略，只写其元素 \(x\)。例如，集合 \(D=\{x \in \mathbf{R} \mid x<10\}\) 也可表示为 \(D=\{x \mid x<10\}\)；集合 \(E=\{x \in \mathbf{Z} \mid x=2k+1, k \in \mathbf{Z}\}\) 也可表示为 \(E=\{x \mid x=2k+1, k \in \mathbf{Z}\}\)。

在上述两个问题中，集合 \(A\)，\(B\) 与集合 \(C\) 之间都具有这样一种关系：集合 \(C\) 是由所有属于集合 \(A\) 或属于集合 \(B\) 的元素组成的. 一般地，由所有属于集合 \(A\) 或属于集合 \(B\) 的元素组成的集合，称为集合 \(A\) 与 \(B\) 的并集（union set），记作 \(A \cup B\)（读作“\(A\) 并 \(B\)”），即 \(A\) \(B\) \(A \cup B\) 图 1[?]

在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题. 我们把含有限个元素的集合 \(A\) 叫做有限集，用 \(\text{card}(A)\) 来表示有限集合 \(A\) 中元素的个数. 例如，\(A=\{a, b, c\}\)，则 \(\text{card}(A)=3\). card 是英文 cardinal (基数) 的缩写. 看一个问题. 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共 6 种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共 4 种，两次一共进了几种货？ 回答两次一共进了 \(10(=6+4)\) 种，显然是不对的. 让我们试着从集合的角度考虑这个问题. 用集合 \(A\) 表示第一次进货的品种，用集合 \(B\) 表示第二次进货的品种，就有

在小学和初中，我们已经接触过一些集合. 例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等. 为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识. 下面先从集合的含义开始.

\(\{x \in \mathbf{R} \mid x < 10\}\). 又如，整数集 \(\mathbf{Z}\) 可以分为奇数集和偶数集. 对于每一个 \(x \in \mathbf{Z}\)，如果它能表示为 \(x=2k+1(k \in \mathbf{Z})\) 的形式，那么它是一个奇数；反之，如果 \(x\) 是一个奇数，那么它能表示为 \(x=2k+1(k \in \mathbf{Z})\) 的形式. 所以，\(x=2k+1(k \in \mathbf{Z})\) 是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为 你能用这样的方法表示偶数集吗？

数学中一些常用的数集及其记法 全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 \(\mathbf{N}\)； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 \(\mathbf{N}^*\) 或 \(\mathbf{N}_+\)； 全体整数组成的集合称为整数集，记作 \(\mathbf{Z}\)； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 \(\mathbf{Q}\)； 全体实数组成的集合称为实数集，记作 \(\mathbf{R}\). 从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合. 除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？

我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如 \(5=5\)，\(5<7\)，\(5>3\)，等等. 两个集合之间是否也有类似的关系呢？

例 2 设集合 \(A=\{x \mid -1<x<2\}\)，集合 \(B=\{x \mid 1<x<3\}\)， 求 \(A \cup B\). 解：\(A \cup B = \{x \mid -1<x<2\} \cup \{x \mid 1<x<3\}\) 集中只能出现一次. 如元 素 5，8.

在初中，我们已经对命题有了初步的认识. 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题. 中学数学中的许多命题可以写成“若 \(p\)，则 \(q\)”“如果 \(p\)，那么 \(q\)”等形式. 其中 \(p\) 称为命题的条件，\(q\) 称为命题的结论. 本节主要讨论这种形式的命题. 下面我们将进一步考察“若 \(p\)，则 \(q\)”形式的命题中 \(p\) 和 \(q\) 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件.

我们知道，命题是可以判断真假的陈述句. 在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题. 但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词. 本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定.

这三个命题都是存在量词命题，即具有“\(\exists x \in M, p(x)\)”的形式. 其中命题（1）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，

1. 求下列不等式的解集： (1) \( 13-4x^2>0 \); (2) \( (x-3)(x-7)<0 \); (3) \( x^2-3x-10>0 \); (4) \( -3x^2+5x-4>0 \). 2. \( x \) 是什么实数时，下列各式有意义？ (1) \( \sqrt{x^2-4x+9} \); (2) \( \sqrt{-2x^2+12x-18} \).

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等. 类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等. 相等用等式表示，不等用不等式表示.

我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用. 那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.

在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题。

图 2.3-1 \(\{x \mid 2<x<10\}.\) 因为\(\{x \mid 2<x<10\} \subseteq \{x \mid 0<x<12\}\)，因此当围成的矩形的一条边长 \(x\) 满足 \(2<x<10\) 时，围成的矩形区域的面积大于 20 \(\text{m}^2\).

\(\Delta > 0\) 方程 \(ax^2+bx+c=0\) 有两个不相等的实数根，解得 \(x_1, x_2 (x_1 < x_2)\) \(\Delta = 0\) 方程 \(ax^2+bx+c=0\) 有两个相等的实数根，解得 \(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\) \(\Delta < 0\) 方程 \(ax^2+bx+c=0\) 没有实数根

先分析以下问题. 问题 1 某“复兴号”高速列车加速到 350 km/h 后保持匀速运行半小时. 这段时间内，列车行进的路程 \( S \)（单位：km）与运行时间 \( t \)（单位：h）的关系可以表示为 \[ S=350t. \] 这里，\( t \) 和 \( S \) 是两个变量，而且对于 \( t \) 的每一个确定的值，\( S \) 都有唯一确定的值与之对应，所以 \( S \) 是 \( t \) 的函数.

\(w=350d.\) ② 其中，\(d\) 的变化范围是数集 \(A_2=\{1,2,3,4,5,6\}\)，\(w\) 的变化范围是数集 \(B_2=\{350,700,1\ 050,1\ 400,1\ 750,2\ 100\}\). 对于数集 \(A_2\) 中的任一个工作天数 \(d\)，按照对应关系②，在数集 问题 1 和问题 2 中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？

\(S=350t.\) ① 其中，\(t\) 的变化范围是数集 \(A_1=\{t \mid 0 \leqslant t \leqslant 0.5\}\)，\(S\) 的变化范围是数集 \(B_1=\{S \mid 0 \leqslant S \leqslant 175\}\). 对于数集 \(A_1\) 中的任一时刻 \(t\)，按照对应关系①，在数集 \(B_1\) 中都有唯一确定的路程 \(S\) 和它

2. 已知函数 \(f(x)=3x^3+2x\)， (1) 求 \(f(2)\)，\(f(-2)\)，\(f(2)+f(-2)\) 的值； (2) 求 \(f(a)\)，\(f(-a)\)，\(f(a)+f(-a)\) 的值. 3. 判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由： (1) 表示炮弹飞行高度 \(h\) 与时间 \(t\) 关系的函数 \(h=130t-5t^2\) 和二次函数 \(y=130x-5x^2\)； (2) \(f(x)=1\) 和 \(g(x)=x^0\).

解：(1) \(y=(\sqrt{x})^2=x(x\in\{x|x\geqslant0\})\)，它与函数\(y=x(x\in\mathbf{R})\)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数 \(y=x(x\in\mathbf{R})\)不是同一个函数. (2) \(u=\sqrt[3]{v^3}=v(v\in\mathbf{R})\)，它与函数 \(y=x\ (x\in\mathbf{R})\)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数 \(y=x(x\in\mathbf{R})\) 是同一个函数. 也可以利用信息技术画出例 3 中四个函数的图象，根据图象进行判断.

变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质. 前面学习了函数的定义和表示法，知道函数 \(y=f(x)\) \((x \in A)\) 描述了客观世界中变量之间的一种对应关系. 这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律. 因此，研究函数的性质，如随着自变量[?]